Тема уроку: Перетворення добутку тригонометричних функцій у суму.
Тема уроку: Перетворення добутку тригономет¬ричних функцій у суму.
Мета уроку: Вивчення формул суми і різниці однойменних три¬гонометричних функцій і формул перетворення до¬бутку тригонометричних функцій у суму. Формування умінь учнів застосовувати вивчені формули для спро¬щення виразів та обчислень.
Обладнання. Таблиця «Формули перетворення суми в добуток (добутку в суму)».
І. Перевірка домашнього завдання.
1. Два учні на дошці розв'язують № 26 (1) і 26 (2). Один учень в цей час коментує розв'язання № 52 (12).
2. Розв'язування аналогічних вправ. Спростіть вирази:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
Відповідь: а) соs2 α; б) ; в) 1; г) tg α.
II. Повідомлення теми і завдань уроку.
III. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу.
Демонструється таблиця 7.
Таблиця 7
Формули перетворення суми у добуток
; ;
; .
Пояснення вчителя
1. Виведемо формулу перетворення суми синусів в добуток.
Позначимо , , тоді α + β = x, α – β = y, і тому
1) sin х + sin y = sin(α + β) + sin(α - β) = sin α • соs β + соs α • sіnβ + sin α • cоs β – – cos α • sіn β = 2sіn α • соs β = 2sіn соs . Отже, сума синусів дорівнює подвоєному добутку синуса півсуми на косинус піврізниці.
Для суми косинусів маємо:
2) соs х + соs у = соs(α + β) + соs(α – β) = соs α соs β – sіn α sin β + соs α соs β + + sіn α sіn β = 2 соs α соs β = 2 соs соs . Отже, сума косинусів дорівнює подвоєному добутку косинуса півсуми на косинус піврізниці.
Для різниці косинусів маємо:
3) соs х – соs у = соs(α + β) – соs(α – β) = соs α соs β - sіn α sin β – соs α соs β – – sіn α sіn β = – 2 sin α sin β = 2 sin sin Отже, різниця косинусів дорівнює числу, протилежному подвоєному добутку синуса півсуми на синус піврізниці.
4) sin х – sin y = sin х + sin(-y) = 2 sin соs . Отже, різниця синусів дорівнює подвоєному добутку синуса пів¬різниці на косинус півсуми.
2. Для одержання формул перетворення добутку у суму випи¬шемо підряд чотири формули:
sin(x + у) = sin x cos у + cos x sin у; (1)
sin(x – у) = sin x cos у – cos x sin у; (2)
cos(x + у) = cos x cos у – sin x sin у; (3)
cos(x – у) = cos x cos у + sin x sin у. (4)
Віднявши почленно із рівності (4) рівність (3), одержимо:
cos(x – у) – cos(x + у) = 2 sin x sin у
або
sin x sin у = (cos(х – у) – cos(x + y))
Добуток синусів двох чисел дорівнює піврізниці косинуса різниці і косинуса суми цих чисел.
Додавши почленно рівності (4) і (3), маємо:
соs(x – у) + соs(х + у) = 2 соs х соs у
або
cos x cos у = (cos(x – у) + cos(х + у))
Добуток косинусів двох чисел дорівнює півсумі косинуса різниці і косинуса суми цих чисел.
Додавши почленно рівності (1) і (2), одержимо
sin(x – у) + sin(х + у) = 2 sin x cos у
або
sin x cos у = (sin(x – у) + sin(x + у))
Добуток синуса одного числа на косинус другого числа дорівнює півсумі синуса різниці і синуса суми цих чисел.
Виконання вправ
1. Спростіть вирази:
а) – ; б) – .
в) sіn α • ; г) + .
Відповідь: а) sin β; б) sin 2α; в) ; г) соs α.
2. Обчисліть:
а) соs 22° – соs 38°; б) sin 5° + sin 55°.
Відповідь: а) sіn 8°; б) соs 25°.
3. Перетворіть в добуток:
а) соs 2α + соs 14α + соs 6α + соs 10α;
б) sin 4β + sin 10β + sin 22β + sin 16β .
Відповідь: а) 4соs 2α соs 4α соs 8α; б) 4 соs 3β соs 6β sіn 13β.
4. Доведіть тотожність:
а) ; б) .
IV. Підведення підсумків уроку.
V. Домашнє завдання.
Розділ І § 10 (5, 6). Запитання і завдання для повторення до розділу І № 69—70. Вправи № 52 (8; 15), № 53 (8; 15; 16)
