Тема уроку: Розв'язування найпростіших тригонометричних рівнянь. Рівняння sin t = а.
Тема уроку: Розв'язування найпростіших тригонометричних рівнянь. Рівняння sin t = а.
Мета уроку: Засвоєння учнями виведення і застосування фор¬мули для коренів рівняння sin t = а.
Обладнання: Таблиця «Рівняння sin t = а».
І. Перевірка домашнього завдання. 1. Відповіді на питання, що виникли при виконанні домашніх завдань. 2. Самостійна робота.
Варіант 1 Розв'яжіть рівняння: а) 2cos = . (3 бали) б) 2cos2x + cos x – 1 = 0. (3 бали) в) 4cos x = 4 – sin x. (3 бали) г) sin 3х sin x – cos 3х cos x = . (3 бали) Варіант 2 Розв'яжіть рівняння : а) 2 cos = . (3 бали) б) 2cos2x – cosx – 1 = 0. (3 бали) в) 8 sin2х + cosx + 1 = 0. (3 бали) г) sin2 - cos2 = 1. (3 бали) Відповідь: B-l. a) ± +4πn, n Z; б) ± +2πn і π+2πn, n Z; в)2πn, n Z; г) ± +πn,n Z. В-2. a) ± + ,n Z; б) 2πn і ± +2πn, n Z; в) п+2πn, n Z; т) 4πn,n Z.
II. Повідомлення теми уроку.
III. Сприймання і усвідомлення матеріалу про розв'язування рівняння sin t = a. Демонструється таблиця 9. Пояснення вчителя 1) Якщо |а| > 1, то рівняння не має роз¬в'язків, поскільки | sin x| 1 для будь-якого t. 2) Якщо |а| < 1, то, враховуючи те, що sin t — ордината точки Рt одинично¬го кола, маємо: ординату, рівну а, мають дві точки одиничного кола (на осі OY відкладаємо число а і через цю точку проведемо пряму, перпендику¬лярну до осі ординат (рис. 123), яка перетне коло у двох токах - і ): t1 = arcsin a + 2πп, п Z, t2 = π - arcsin а + 2πп, п Z. Ці дві формули можна записати у вигляді однієї формули: t = (-1)k arcsin a + πk, k Z (1) Неважко впевнитися, що при парному k = 2п маємо: t1 = (-1)2n arcsin а + 2πп або t1 = arcsin a + 2πп, п Z; при непарному k = 2n + 1 маємо: t2 = (-1)2n+1 arcsin а + (2n + 1)π; t2 = - arcsin а + 2πп + π; t2 = π - arcsin a + 2πп, п Z. 3) Якщо а = 1, то, враховуючи те, що sint — це ордината точ¬ки Pt( одиничного кола, маємо: ординату, рівну 1, має точка Рt утворена із точки Р0(1;0) поворотом на кут + 2πп, п Z. Отже, t = + 2πп, п Z. Якщо а = -1, то t = - + 2πп, п Z. " 4) Якщо а = 0, маємо t = 0 + πп; t =πп, п Z.
Розглянемо приклади. Приклад 1. Розв'яжіть рівняння sinx = . Розв'язання Згідно з формулою (1) маємо: х = (-1)n arcsin + πп, п Z. Оскільки arcsin = , то х = (-1)n + πn, п є Z. Відповідь: (-1)n + πn, п є Z. Приклад 2. Розв'яжіть рівняння sin х = - . Розв'язання Згідно з формулою (1) маємо: х = (-1)n arcsin + πп, п Z. Оскільки arcsin = - , то х =(-1)n • + πn, n Z; х = (-1)n+1 + πп, п Z. Відповідь: (-1)n+1 + πп, п Z. Приклад 3. Розв'яжіть рівняння sin x = – 1. Розв'язання Згідно з формулою (1) маємо: х = (-1)n arcsin( – 1) + πп, п Z. Значення arcsin( -1) знайдемо за допомогою мікрокальку¬лятора: arcsin( – 1) 0,427, тоді х (-1)n • 0,427 + πn, п Z. Відповідь: (-1)n • arcsin( -1) + πп (-1)n • 0,427 + πп, п Z.
IV. Осмислення вивченого матеріалу. Коментоване виконання вправ Розв'яжіть рівняння. 1. a) 2sin х - 1 = 0; б) 2sin = - l; в) 2sin = - ; г) 2sin = . Відповідь: а) (-1)n + πn, n Z; б) (-1)n+1 + 2πп, п Z; в) +(-1) n+1 + , п Z; г) +(-l)n+1 +4πn, п Z 2. a) sin 3х cos х - cos 3х sin х = ; б) sin 2x cos 2x = - ; в) sin cos – cos sin = ; r) cos 2x sin 3х + sin 2x cos 3x = 1. Відповідь: а) (-1)n + , п Z; б) (-1)n+1 + , п Z; в) (-l)n +3πn, п Z; г) + , п Z. 3. а) (2sin х – l)(3sin х + 1) = 0; б) (4sin 3х – l)(2sin х + 3) = 0. Відповідь: а) (-1)n +πп і (-1)n+1arcsin + πn, п Z; б) (-1)n + , п Z.
V. Підведення підсумків уроку.
VI. Домашнє завдання. Розділ II § 2 (1). Запитання і завдання для повторення до роз¬ділу II № 13—15. Вправи № 1 (6; 7; 8; 14; 17; 18), № 2 (3). Таблиця 9
